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| 此文发表于美国EI源期刊《控制与决策》2005年第20卷第8期 |
提 要：分析了当使用RZ算子时推理合成规则（CRI）不具有还原性和不能正确进行模糊推理的原因，给出了正确应用CRI的条件；分析了全蕴涵三I算法的不足及其具有还原性的原因；对各种蕴涵算子的模糊推理进行了分析比较，对不合理的分析其原因，对合理的进行总结，得到正确的推理算法；对模糊推理在理论和实际应用中的矛盾进行了说明。
关键词：模糊推理；推理合成规则；还原性；蕴涵算子
中图分类号 TP273.4
The Fuzzy Reasoning Analysis of Fuzzy Control
Zhang Zhao，Wu Ai-guo，Pei Yan-ling
(School of Electrical and Automation Engineering, TianjinUniversity, Tianjin 300072,China)
Abstract: The reason why the compositional rule of inference does not have the reducibility and cannot conduct the fuzzy reasoning correctly when Rz operator is used, was analyzed, and the conditions of using CRI rightly were pointed.The deficiency of triple-I algorithm and the reason why it has the reducibility was analyzed.All kinds of fuzzy reasoning of implication operators were compared.The reasons why some are unreasonable and some are reasonable were summarized and the correct inference algorithm was given.And the contradiction between the theory and the implementation of fuzzy reasoning was explained.Analyzing the fuzzy reasoning deeply is very meaningful for the research of fuzzy theory, the design and implementation of fuzzy controllers and the guidance of fuzzy theory for fuzzy controllers.
Key words: Fuzzy reasoning；Compositional rule of inference ；Reducibility；Implication operator
1 引言
模糊推理是模糊控制的理论基础，通常的模糊控制是按Zadeh提出的推理合成规则（CRI—Compositional Rule of Inference）进行模糊推理的[1]，模糊控制方法被用于工业过程的控制以及新型家电产品的开发上取得了很大的成功，模糊推理也得到一定发展［2~8］，然而作为模糊控制的理论基础也存在着许多争议［9~12］，重要的一点是CRI方法不具有还原性。文献[12]指出CRI算法是一种逻辑上的单蕴涵算法，提出了全蕴涵三I算法，并对CRI算法中的算子进行了改进，随后很多文献对全蕴涵三I算法做了进一步的完善和推广［13，14］，但都没有应用到实际控制中去。
在模糊推理的理论研究中，最基本的模糊推理规则为模糊取式(Fuzzy Modus Ponens),简称FMP，其基本形式为：
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已知： A→B
且给定： A*
——————————————
求： B*
这里A与A*是某论域X上的模糊集，而B与B*则是论域Y上的模糊集. |
2、蕴涵算子为RZ的推理合成规则
Zadeh于1973年首先提出了著名的CRI方法, 即:将A→B通过蕴涵算子RZ转化为一个X×Y上的模糊关系RZ(A(x),B(y)),然后将A*与RZ(A(x),B(y))进行复合得B*:
B*(y)=A*(x)。RZ(A(x),B(y)),y∈Y.
这里蕴涵算子RZ: ［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RZ(a,b)=(1-a)∨(a∧b)，
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| 根据复合算法可得： |
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对与推理合成规则（CRI），好多人提出异议，最主要的一个依据是它不具有还原性，即当A=A*时，B≠B*。下面我们对CRI进行分析：当RZ(a,b)=(1-a)∨(a∧b) 时：令 |
| 则： |
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| 令： |
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| 则： |
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当 时，若 正规（即，存在a∈X，使A(a)=1） |
| 则： |
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3、全蕴涵三I算法分析
文献[2]针对CRI的缺陷，提出了全蕴涵三I算法，对于模糊取式FMP，该算法的基本思想是：所求的B'是F(Y)中使 对一切 和 都取得最大值的最小模糊集。
取蕴涵算子 给出算法：
 这里
并对该算法及其还原性作了证明。
| 下面对该算法进行分析：当a>b时， |
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由于当E'存在， 正规时： |
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| 所以： |
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当时，对于 |
| 由于： |
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| 所以： |
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则： |
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，具有还原性。但具有还原性并不能说明其推理是 |
合理的，
因为依据此推理，无论A如何取值，B'或者是B，或者是 ，而后者与B没有联系，这显然与实际情况不相符。
虽然从理论上人们又用各种蕴涵算子对全蕴涵三I算法进行了推广，但都不能得到合理的结论，没有应用到实际控制中去，这些蕴涵算子包括：
Lukasiewicz算子，RL:［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RL(a,b)=min(1，1-a+b)
Dienes-Rescher算子，RDR:［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RDR(a,b)= (1-a)∨b |
| Godel算子，RG:［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RG(a,b)= |
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标准算子①，RS:［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RS(a,b)= |
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标准算子②，RΔ:［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RΔ(a,b)= |
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| 在实际模糊控制中普遍采用的是Mamdani的最小运算和Larsen的乘积运算。 |
4、蕴涵算子为t-范数的推理合成规则
4．1、Mamdani的最小运算
对于蕴涵算子RC: ［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RC(a,b)=a∧b。
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| 根据复合算法可得： |
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| 令： |
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则： |
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具有还原性 |
| 随着A'与A偏离的由小到大，A(Y)：1→0，B'(Y)：B(Y)→0，与实际是相符的。 |
4．2、Larsen的乘积运算
对于蕴涵算子RLa:［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为：RLa(a,b)=a·b。 |
| 根据复合算法可得： |
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| 令： |
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则： |
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具有还原性 |
随着A'与A偏离的由小到大，A(Y)：1→0，B'(Y)：B(Y)→0，与实际是相符的。
可见对于蕴涵算子RC与RLa，推理合成规则都具有良好的还原性，且推理结论符合实际情况。这两个算子都是两个模糊集的t-范数，那么对于所有的t-范数，是否满足这个推理规则呢？大家知道Dombi的t-范数 |
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当 时，覆盖了t-范数的整个空间。 |
| 对于蕴涵算子RD: ［0,1］2→［0,1］是二元函数，定义为： |
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| 其中 |
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则： |
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| 则： |
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具有还原性 |
| 随着A'与A偏离的由小到大， |
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则： |
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| 当蕴涵算子为RC和RLa时，其复合算法也可以看作是 |
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由此可见，对于任何的t-范数，都可以作为推理合成规则CRI的蕴涵算子，其复合算法为
随着A'与A偏离的由小到大，B'(Y)：B(Y)→0，并且随着 0→∞，B'(Y)：由B(Y)到0的速度越快，从某一方面说，必存在最优。 |
5、蕴涵算子的逻辑关系
为什么反映“A→B”传递关系的蕴涵算子（RZ、R0、RL、RDR、RG、RS、RΔ），在实际推理中不能得到合理的结论呢？这些算子都是由经典的假言推理中推广而来的，它依据的是“如果A，那么B”的经典的逻辑推理关系，就是真值表中所有可能的状态与“A→B”相同。
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A |
B |
A∨B |
A·B |
A→B |
RZ |
R0 |
RL |
RDR |
RG |
RS |
RΔ |
Rc |
RLa |
RD |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
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0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
真值表中：A=0且B=1，或A=0且B=0时，“A→B”=1，表示如果A为假，无论B是真或是假，则推理“如果A，那么B”都是真，在实际情况中，这种推理显然不能在所有的情况下都成立，它是经典逻辑推理中以“善意的推断”为前提，在理论上做的规定，以此为理论依据进行实际的推理，当然不可能推出正确的结论。
蕴涵算子（Rc、RLa、RD）与（A∨B）和（ A·B）的真值表一致，“如果A，那么B”仅仅是反映了A的B一种相互关系，从实际意义上说，（A→B）与（A∨B）和（ A·B）的真值表一致应该更接近于实际情况。
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6、结论
在模糊控制的模糊推理中，蕴涵算子采用经典的逻辑关系“A→B”的推广式，是不恰当的；采用模糊t-范数能够得到合理的结论。一方面，模糊控制在应用领域得到了成功的运用，另一方面，模糊理论仍然受到攻击。模糊理论中的模糊推理是蕴涵“A→B”的关系算子，而实际应用中模糊推理是蕴涵（A∨B）或（ A·B）的关系算子，由于前者依据的经典的逻辑推理的不完整性，其模糊推理是有缺陷的，经不住推敲的，而后者从各方面讲，都是比较合理的，在实际应用中也是获得巨大成功的，美国加洲大学的Clarle Elcan 博士查阅了130万篇关于模糊控制的文章，发现没有一种模糊控制是真正利用模糊推理的，所以他说“模糊控制器的成功与模糊逻辑和模糊集理论毫不相关”，本文或多或少是对这一现象的一种解释。
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参考文献
[1] Zadeh L A. Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes. IEEE Trans Systems Man Cybernet, 1973, 3: 28～44
[2] Wang G J. On the logic foundation of fuzzy reasoning. In: Lecture Notes in Fuzzy Mathematics and Computer Science. Omaha: Creighton University, 1997. 4: 1～48
[3] Buckley J, Hayashi Y. Can approximate reasoning be consistent? Fuzzy Sets and Systems, 1994, 65: 13～18
[4] Dubois D, Prade H, Lang J. Fuzzy sets in approximate reasoning. Fuzzy Sets and Systems, 1991, 40:143～244
[5] Guan J W, Bell D A. Approximate reasoning and evidence theory. Information Sciences. 1997, 96: 207~235
[6] Hajek P, Metamathematics of Fuzzy Logic, Dordrecht:Kluwer.1998
[7] Wang G J. On the logic foundations of FMP and FMT. Int. J Fuzzy Mathematics, 1997, 5(1):229～250
[8] Wang L X. A Course in Fuzzy and Control, Hong Kong: Prentice-Hall, Inc,2003
[9] Elkan C. The Paradoxical Success of Fuzzy Logic,ibid.1993,3-8
[10] 李洪兴．从模糊控制的数学本质看模糊逻辑的成功. 模糊系统与数学，1995，4：1～14
[11] 吴望名．关于模糊逻辑的一场争论. 模糊系统与数学，1995，2：1～10
[12] 王国俊．模糊推理的全蕴涵三I算法.中国科学，E辑.1999,29(1):43
[13] 宋士吉，冯纯伯．关于模糊推理的全蕴涵三I算法的约束度理论．自然科学进展．
2000，10(10):884～889
[14] 宋士吉，吴澄．模糊推理的反向三I约束算法
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，并接近
；如果
，
，CRI具有还原性；对于
，CRI不具有还原性。
接近于
时：如果
且接近于
且接近于1，所以对于接近于1处的
，与实际相符。
等于或接近于1，
等于或接近于0，则：
，与实际不相符。
中寻找
，由于
，则
，且当
