山东省建筑设计研究院第一分院

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此文发表于国家核心期刊《中国工程科学》2005年第7卷第8期

任意隶属度函数模糊系统的逼近特性

张钊裴燕玲郑爱红
（山东省建筑设计研究院，山东济南 250001）

    提要：以四边形隶属函数作为一般的隶属函数，利用Stone-Weierstrass定理对任意隶属函数的模糊系统任意逼近紧集上的任意连续实函数进行了证明，是对基本模糊系统逼近任意连续非线性函数理论的推广，模糊系统对任意非线性函数的逼近性能，是模糊系统用于系统辩识的理论依据。
    关键词：模糊系统；隶属函数；逼近
   中图分类号 TP273.4 文献标识码 A 文章编号

The Forward Recurrent Method of Dynamic Programming

Zhang Zhao 1,2 ， Pei Yanling 2 ， Zheng Aihong 1
(1. School of Electrical and Automation Engineering, TianjingUniversity,
Tianjin 300072, China；2．ShandongProvincial Architectural
Design & ResearchInstitute Introduction，Jinan250001, China)

Abstract: While quadrilateral membership function is used as general membership function, Stone-Weierstrass theorem is utilized to prove that fuzzy systems with arbitrary membership functions are capable of approximating any continuous function on a compact set. It is a generalization for theory of basic fuzzy systems approximating any continuous non-linear function. The performance of fuzzy systems to approximate random non-linear function is the theoretical basis of fuzzy system’s application in system identification.
Key words: fuzzy system, membership function, approximation

1 引言
    模糊系统是模糊数学在自动控制中的应用，1965年美国科学家Zadeh发表了开创性的论文《Fuzzy Sets》，提出了模糊集合理论，1974年英国学者Mamdani首先将模糊理论用于锅炉和蒸汽机的控制，开创了模糊控制这一新的领域，1984年国际模糊系统联合会（IFSA）成立，并于1985年召开首届年会，1992年，IEEE召开了第一届关于模糊系统的国际会议（FUZZY-IEEE），并于1993年创办了专刊IEEE Transaction on Fuzzy Systems。上世纪八十年代以来，日本采用模糊控制技术的产品大量上市，模糊技术在地铁、机器人、交通管理、市场预测等领域得到了广泛应用，当前，模糊理论和应用正向深度和广度进一步发展[1，2]，成为智能控制理论的重要分支。北京师范大学的李红兴教授利用变论域自适应模糊控制方法对四级倒立摆进行控制实验[3]，并于2002年8月11日获得成功，这就证明了模糊控制不仅是适用的，而且是可靠的、精确的。
    模糊系统的一个重要的作用就是用于系统辩识，不管内部结构如何，从输入输出的角度，模糊系统是一个非线性函数，那么模糊系统能不能任意的逼近任意一个非线性函数呢？如果答案是肯定的，那么就为模糊控制的可靠性、精确性提供了理论依据。文献[4]用基本模糊系统逼近任意连续非线性函数，证明了单点模糊器、高斯隶属函数、乘积推理、加权平均解模糊的模糊系统对任意非线性连续函数的任意逼近性，文献[5、6、7]证明了对于定义在紧集上的连续可微函数可用隶属函数为三角形的分层模糊系统来逼近，文献[8]从矩阵的角度，证明了具有任意形状隶属函数的分层模糊系统对紧集上连续函数的逼近性质。本文证明对于任意形状隶属函数的模糊系统，对连续的非线性函数具有任意的逼近性。
2 预备知识
   为了证明任意形状隶属函数的模糊系统对连续的非线性函数的逼近性，首先给出相关的定义和定理。
2．1定义1：四边形隶属函数
令[a，d]R，模糊集A的四边形隶属函数是R上的一个连续函数，其定义为：

式中

是[a,b)上的一个非减函数，

是[c,d) 上的一个非增函数。当模糊集A为标准模糊集（即H=1）时，其隶属函数可以简单地记为:

图1 四边形隶属函数

对于四边形隶属函数：若

，则为梯形隶属函数；若满足上述条件下，且b=c，则为三角隶属函数；若

，且

，则为高斯隶属函数；若a=b=c=d， H=1 ，则单点隶属函数，所以可以把四边形隶属函数看成任意隶属函数。

2．2定理1：Stone-Weierstrass定理
    若Z是一个定义在紧集U上的连续实函数的集合，如果：
    （1） Z为一个代数，即Z对加法、乘法、和标量乘法是封闭的；
    （2） Z能离析U上的各点，即对任意，若，则存在，使；
    （3） Z在U上任意一点不为零，即对任意，均存在，使；
    则对U上的任意连续实函数g(x)和任意，均存在，使成立。

3、模糊系统的逼近性能
3．1模糊系统输出表达式
对于一个多输入单输出（MISO）的模糊系统，设输入变量为，用矢量表示，x的论域是实空间上的紧密集，即；设系统的输出变量为y，y 的论域是实数域上的紧密集，即，则模糊规则的一般形式为：

其中，

为规则数；

是

的模糊集合，隶属函数为

是y的模糊集合，隶属函数为

。
采用广义取式推理，t-范数选代数积算子，s-范数选最大算子，得输出：

若模糊集A'是模糊单点，则式（2）简化为：

若

为第j个模糊集

的中心，采用加权平均解模糊，得模糊系统输出：

3．2定理2令Z是所有形如式（4）的模糊系统的集合，为四边形隶属函数，对于紧密集上的连续实函数g(x)，给定，必存在，使成立。
证明：（1）首先证明Z是代数
令：写出f1，f2表达式：

则：

构成的四边形隶属函数（点击放大）

因为

为式（1）所示的四边形隶属函数，

所构成的函数分别由（0，I1I2，H1I2，D1I2，I1H2，H1H2，D1H2，I1D2，H1D2，D1D2）组成，如果把

看成是隶属函数，则必然也构成一个四边形隶属函数; 把

看作是模糊集合的中心，则式（5）、（6）、（7）仍是式（4）的形式，即

，

，所以Z是代数。

（2）其次证明Z能离析U上的各点，对于式（4）的模糊系统，给定任意的

因为

均为四边形隶属函数，由0，I，H，D组成，隶属函数各边没有重合，所以当

3）最后证明Z在U上任意一点不为零
对于任意，因为有由式（4）得：
归纳以上证明，由Stone-Weierstrass定理可知：f(x)对于定义在紧集U上的任意连续实函数g(x)和任意，均存在，即模糊系统能够任意逼近紧密集U上的任意连续实函数。

4、结论
本文在基本模糊系统对任意非线性连续函数可任意逼近的基础上，将模糊系统隶属函数一般化，用四边形隶属函数代替一般的隶属函数，对模糊系统逼近性能进行进一步的探讨，是对文献[4]理论的推广，任意隶属函数模糊系统对任意连续实函数逼近性能的证明，为一般模糊系统用于非线性系统建模奠定了理论基础，模糊系统是除多项式函数、神经网络逼近器之外的一个新的函数逼近器，模糊系统较其他逼近器的优势在于它能够系统而有效地利用语言的能力，因而被越来越多地应用于非线性系统的辩识和控制之中。

参考文献
[1] K Tanaka, T Kosaki. Design of a stable fuzzy controller for an articulated vehicle.     IEEE Trans on Systems Man and Cybernetics, 1997,27(3) :552-558
[2] Wing. Constructing nonlinear variable gain controllers via the Takagi-Sugeno fuzzy     control. IEEE Trans on Fuzzy Systems, 1998, 6(2):226-234
[3] 李洪兴，苗志宏．四级倒立摆的变论域自适应模糊控制.中国科学，E辑. 2002, 32(1):65-75
[4] Wang L X, Mendel J M. Fuzzy basis functions, universal approximation, and orthogonal     least squares learning. IEEE Trans on Neural Networks. 1992 ,3(5):807-817
[5] Castrl J L. Fuzzy logic controllers are universal approximators[J]. IEEE Trans on     Systems Man and Cybernetics, 1995,25(4) :629-635
[6] Wang L X, universal approximator by hierarchical fuzzy systems. Fuzzy set and systems.     1998, 93(2): 223-230
[7] 刘晓华,冯恩民. 一类模糊系统的逼近问题. 控制与决策. 2002, 17(4): 415-418
[8] 孙多青，霍伟. 具有任意形状隶属函数的分层模糊系统逼近性能研究. 控制理论与应用.
   2003, 20(3): 377-381